초등임용 수학 도형 각론 단권화 정의 성질 뽀개기

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초등임용 수학 도형 각론 뽀개기 단권화

도형 정의 / 성질 / 오개념 지도

 

* 관련 수학 각론 단권화

2021.08.16 - [시험 공부/임용고시] - 초등임용 수학 각론 뽀개기 3. 측정 단권화 시간 ~ 각도

2021.08.16 - [시험 공부/임용고시] - 수학 각론 뽀개기 3. 측정 단권화 둘레 넓이 부피 어림

 

<평면도형>
여러 가지 도형 ▶ 도형의 기초 ▶ 다각형 ▶ 원 ▶ 변환

 

(1) 여러 가지 도형

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- 도형 학습 지도 과정 X3

수집 관찰 (1수준) → 조작 실험 (2수준) → 이론화 (3수준)

 

[참고] 반 힐레 기하 사고 수준

1수준 = 시각적 인식 수준

2수준 = 분석적 수준

3수준 = 비형식적 연역(관계적 수준)

 

- 도형 개념의 추상화 단계

추상화 1단계(수평적 수학화), 추상화 2단계(수직적 수학화)

 

- 익숙한 예 제시하여 시각적, 직관적 이해 가능하도록 설명하는 정의 방법, 외연과 내포 중 어느 것?

예시적 정의, 외연

 

- 상위 개념에 종차 첨가, 새로운 하위 개념 형성 정의 방법, 외연과 내포 중 어느 것?

명명적 정의, 내포

 

- 약속에 따라 정의하는 방법

공리적 정의

 

(2) 도형의 기초

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- 두 점을 곧게 이은 선

선분

- 한 점에서 시작하여 한쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선

반직선

- 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선

직선

- 한 점에서 그은 두 반직선으로 이루어진 도형

각

- 종이를 반듯하게 두 번 접었을 때 생기는 각

직각

- 각도가 0도보다 크고 직각보다 작은 각

예각

- 각도가 직각보다 크고 180도보다 작은 각

둔각

- 두 직선이 만나서 이루는 각이 직각일 때, 두 직선은 서로 ()

수직

- 두 직선이 서로 수직으로 만나면 한 직선은 다른 직선에 대한 ()

수선

- 한 직선에 수직인 두 직선을 그었을 때 두 직선은 서로 만나지 않고, 서로 만나지 않는 두 직선은 ()

평행

- 평행한 두 직선을 ()이라고 한다.

평행선

- 평행선의 한 직선에서 다른 직선에 그은 수선의 길이

평행선 사이의 거리

 

(3) 다각형

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- 두 변의 길이가 같은 삼각형 (성질; 두 각의 크기)

이등변삼각형

- 세 변의 길이가 같은 삼각형 (성질; 세 각의 크기)

정삼각형

- 한 각이 직각인 삼각형

직각삼각형

- 세 각이 모두 예각인 삼각형

예각삼각형

- 한 각이 둔각인 삼각형

둔각삼각형

- 네 각이 모두 직각인 사각형(성질; 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행, 두 변의 길이 같음, 마주 보는 두 각의 크기 같음)

직사각형

- 네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이가 모두 같은 사각형(성질; 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행, 두 변의 길이 같음, 마주 보는 두 꼭짓점을 이은 선분의 길이가 같음)

정사각형

- 평행한 변이 있는 사각형(마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형)

사다리꼴

 

- 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형(성질; 마주 보는 두 변의 길이 같음, 마주 보는 두 각의 크기 같음, 이웃한 두 각의 크기의 합이 180도)

평행사변형

- 네 변의 길이가 모두 같은 사각형(성질; 마주 보는 두 쌍의 변이 평행, 마주 보는 두 각의 크기 같음, 마주 보는 꼭짓점끼리 이은 선분이 서로 수직)

마름모

 

[참고] 도형 정의, 성질 정리표

	삼각형		사각형
	이등변삼각형	정삼각형	직사각형	정사각형	사다리꼴	평행사변형	마름모
정의	두 변의 길이가 같은 삼각형	세 변의 길이가 같은 삼각형	네 각이 모두 직각인 사각형	네 각이 모두 직각이고 네 변의 길이가 모두 같은 사각형	평행한 변이 한 쌍이라도 있는 사각형	마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형	네 변의 길이가 모두 같은 사각형
성질	- 길이가 같은 두 변에 있는 두 각의 크기 같다.	- 세 각의 크기 모두 같다. - 한 각의 크기가 60도	- 두 쌍 대변 평행, 합동 - 마주 보는 두 각의 크기 같다. - 이웃한 두 각의 크기 합 180도 - 대각선 길이 서로 같다.	- 두 쌍 대변 평행, 합동 - 마주 보는 두 각의 크기 같다. - 이웃한 두 각의 크기 합 180도 - 대각선 길이 같고 서로 수직이등분	- 한 쌍 대변 평행	- 두 쌍 대변 평행, 합동 - 마주 보는 두 각의 크기 같다. - 이웃한 두 각의 크기 합 180도 - 모양 크기 같은 삼각형 2개로	- 두 쌍 대변 평행, 합동 - 마주 보는 두 각의 크기 같다. - 이웃한 두 각의 크기 합 180도 - 대각선 서로 수직이등분

- 선분으로만 둘러싸인 도형

다각형

- 변의 길이가 모두 같고 각의 크기가 모두 같은 다각형

정다각형

- 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분

대각선

 

- 다각형의 정의 중 오각형에 대한 1~2학년군, 3~4학년군 각각의 답변은?

1~2학년군) 변과 꼭짓점이 5개이므로 오각형

3~4학년군) 선분으로 둘러싸인 다각형이면서 변이 5개이므로 오각형

 

- 정사각형을 변의 길이가 모두 같은 사각형이라고만 이해하는 오개념 지도 방법

마름모 제시하여 정사각형 아님을 지도

 

- 정사각형을 각의 크기가 모두 같은 사각형이라고만 이해하는 오개념 지도 방법

직사각형 제시하여 정사각형 아님을 지도

 

- 정사각형을 변의 길이가 같고 각이 직각인 사각형이라고 '모두'라는 말을 빼고 이해하는 오개념 지도 방법

두 변의 길이만 같은 사각형, 두 각의 크기만 직각인 사각형 제시하여 정사각형 아님을 지도

 

(4) 원

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- 원을 그릴 때 누름못이 꽂혔던 점

원의중심

- 원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분

반지름

- 원의 중심을 지나는 원 위의 두 점을 이은 선분

지름

(5) 변환

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- 도형이 합동변환에 의해 다른 상을 만들 때, 자기 자신을 중심으로 사물들의 위치(전우, 좌우, 상하)를 다르게 지각하는 능력

공간에서의 위치 지각 능력 (공간감각 ①)

- 도형이 합동변환에 의해 다른 상을 만들 때, 변환된 도형이 변환하기 전의 도형과 합동임을 인식할 수 있는 능력

공간 관계에 대한 지각 능력 (공간감각 ②)

- 오랫동안 보지 않은 물체를 회상해내거나 두 번 이상 변환한 상의 경우 한 번 시행 후의 상을 머릿속에 기억하는 능력

시각적 기억 능력 (공간감각 ③)

 

cf) McGee 공간감각 하위 요소

① 공간 시각화 : 대상을 머릿속으로 조작, 회전, 방향 바꾸는 능력 (물체를 심상에 의하여 회전, 재배열, 조합시키는 능력)

② 공간 방향 : 제시된 형상이 다른 시각, 방향에서는 어떻게 나타나는지 이해 능력

- 도형을 변환하더라도 선분의 길이와 각의 크기가 변하지 않는 변환

합동변환

- 직선을 따라 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 평면의 모든 점을 움직이는 평면의 변환

평행이동(밀기)

- 어떤 직선 l이 있을 때 직선 l 위에 있지 않은 점 p에 대해 직선 l이 점 p와 다른 한 점 p’의 이등분이 되도록 점들을 짝 짓는 평면의 변환

대칭이동(뒤집기)

대칭이동

- 어떤 방향에서 일정한 양으로 고정된 점을 기준으로 회전함으로써 결정되는 평면의 변환

회전이동(돌리기)

회전이동

- 모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹쳐지는 두 도형을 서로 ()이라고 한다.

합동

- 합동인 두 도형을 완전히 포개었을 때 겹쳐지는 점을 (), 겹쳐지는 변을 (), 겹쳐지는 각을 ()

대응점, 대응변, 대응각

- 한 직선을 따라 접어서 완전히 겹쳐지는 도형, 그 때의 선

선대칭도형, 대칭축

- 어떤 점을 중심으로 180도 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹쳐지는 도형, 그 때의 점

점대칭도형, 대칭의 중심

 

<입체도형>
도형의 모양 ▶ 직육면체와 정육면체 ▶ 각기둥과 각뿔 ▶ 원기둥과 원뿔, 구 ▶ 공간감각

(2) 직육면체와 정육면체

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- 네모 상자 모양에서 선분으로 둘러싸인 부분, 면와 면이 만나는 부분, 모서리와 모서리가 만나는 점

면, 모서리, 꼭짓점

- 직사각형 모양의 면 6개로 둘러싸인 도형

직육면체

- 직육면체의 모양을 잘 알 수 있도록 하기 위하여 보이는 모서리는 실선으로 보이지 않는 모서리는 점선으로 그린 그림

겨냥도

- 직육면체를 펼쳐서 잘린 모서리는 실선으로 잘리지 않은 모서리는 점선으로 그린 그림

전개도

- 정사각형 모양의 면 6개로 둘러싸인 도형

정육면체

 

- 직육면체 겨냥도 그릴 때 유의점

서로 평행인 모서리는 평행이 되도록 그리는 것이 맞지만, 수직인 모서리는 수직이 되도록 그리면 안 된다.

(3) 각기둥과 각뿔

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- 각기둥에서 서로 평행하고 나머지 다른 면에 수직인 두 면

밑면

- 각기둥에서 밑면에 수직인 면

옆면

- 각기둥에서 두 밑면 사이의 거리

높이

- 각뿔의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발이 밑면의 무게중심에 닿는 각뿔

직각뿔

- 밑면이 정다각형인 직각뿔

정각뿔

- 각뿔에서 꼭짓점 중에 옆면이 모두 만나는 점

각뿔의 꼭짓점

- 각뿔에서 꼭짓점에서 밑면에 수직인 선분

높이

 

- 각뿔의 옆면을 이등변삼각형이 아닌 삼각형이라고 지도하는 이유

직각뿔 중 옆면이 이등변삼각형이 아닌 경우가 있기 때문

(4) 원기둥과 원뿔, 구

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- 둥근 기둥 모양의 도형

원기둥

- 원기둥에서 옆을 둘러싼 굽은 면

옆면

- 원기둥에서 서로 평행하고 합동인 두 면

밑면

- 원기둥에서 두 밑면에 수직인 선분의 길이

높이

- 둥근 뿔 모양의 도형

원뿔

- 원뿔에서 옆을 둘러싼 굽은 면

옆면

- 원뿔에서 뾰족한 점

꼭짓점

- 원뿔에서 평평한 면

밑면

- 원뿔의 꼭짓점과 밑면인 원의 둘레의 한 점을 잇는 선분

모선

- 원뿔의 꼭짓점에서 밑면에 수직인 선분의 길이

높이

- 공 모양의 도형

구

- 구에서 가장 안쪽에 있는 점

구의 중심

- 중심에서 구의 표면의 한 점을 잇는 선분

구의 반지름