초등 임용 수학 각론 뽀개기 2. 규칙성 공식 정리

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초등임용 수학 각론 뽀개기 규칙성 영역

규칙 찾기, 규칙과 대응, 비와 비율, 비례식과 비례배분으로 이루어진 이 단원에서

가장 중요하고 핵심적인 건 '비와 비율',

비와 비율, 비례식과 비레배분을 중심으로 나머지는 가볍게 보기

 

* 규칙성 규칙찾기 공식 정리

자세한 내용은 아래에 있습니다.

- 도형수 공식

	삼각수	사각수	오각수
a번째 모양의 수	a(a+1)/2	a²	a(3a-1)/2
a번째까지 총합	a(a+1)(a+2)/6	a(a+1)(2a+1)/6

 

- 정삼각형 수배열표 공식

각 행에 있는 수들의 합	4개 숫자 정삼각형 합	6개 숫자 정육각형 합	같은 대각선 가장 가까운 두 수의 곱
(a²-a+1)(2a-1)	4a+6b	6a+6b	작은 수 기준으로 해당 수만큼 대각선 아래쪽으로 내려간다.

1. 규칙 찾기 (수능형)

<성취기준>
[2수04-01] 물체, 무늬, 수 등의 배열에서 규칙을 찾아 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있다.
[2수04-02] 자신이 정한 규칙에 따라 물체, 무늬, 수 등을 배열할 수 있다.

■ 성취기준 관련 규칙 찾기 분류 X3

물체의 배열에서 규칙 찾기

무늬의 배열에서 규칙 찾기

수의 배열에서 규칙 찾기

■ 물체의 배열에서 규칙 찾기 패턴

반복 패턴, 증가 패턴

■ 쌓기나무 활동 방법

쌓기나무로 쌓은 모양을 보고 귀납적 추론을 사용하여 규칙을 찾아 다음에 올 모양을 추측해 쌓아 보며 정당화하도록 한다.

■ 규칙성과 쌓기나무를 결합시킨 활동으로 학생들이 기를 수 있는 것

특정 규칙에 따라 쌓은 주변의 직육면체 모양 물체들을 보고, 그 안에 담겨 있는 규칙성을 수학적으로 분석하는 것은 규칙성 탐구뿐만 아니라 공간 감각을 기를 수 있게 한다.

→ 규칙성 탐구, 공간 감각

 

■ 무늬의 배열에서 규칙 찾기 패턴

반복 패턴, 증가 패턴, 대칭 패턴, 회전 패턴

■ 규칙을 발견하는 데 사용되는 추론 방식

귀납적 추론

■ 관련 교학방유 X5

물체나 무늬의 배열에서는 크기, 색깔, 위치, 방향 등에 대한 단순한 규칙을 다루고, 그 규칙을 말, 수, 그림, 기호, 구체물, 행동 등의 다양한 방법으로 표현하게 한다.

물체나 무늬의 배열에서 다음에 올 것이나 중간에 빠진 것을 추측하여 말하게 한다. (귀납)

수의 배열뿐만 아니라 수 배열표, 덧셈표, 곱셈표를 활용하여 수의 규칙을 찾고, 자신이 정한 규칙에 따라 색칠하거나 ○, / 등으로 나타내게 한다.

자신의 규칙을 창의적으로 만들어보고, 다른 사람의 배열에서 규칙을 찾아보거나 규칙에 대해 서로 말하게 한다.

규칙성 영역의 문제 상황에 적합한 문제 해결 전략을 지도하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.

■ 관련 평방유 X1

규칙 찾기를 평가할 때 학생이 자신의 규칙이나 다른 학생의 규칙에 대해 의사소통하는 과정을 평가한다.

 

<성취기준>
[4수04-01] 다양한 변화 규칙을 찾아 설명하고, 그 규칙을 수나 식으로 나타낼 수 있다.

■ 수의 배열에서 양방향으로 규칙을 찾기 위해 요구되는 사고

가역적 사고

■ 삼각수 a번째 모형의 수

a(a+1) / 2

ex) 3번째 모형의 수 = 6 = 3 x 4 / 2

■ 삼각수 1번째부터 a번째까지의 모형의 수 총합

a(a+1)(a+2) / 6

ex) 1번째부터 3번째까지의 모형의 수 총합 = 3 x 4 x 5 / 6 = 10 = 1+3+6

■ 사각수 a번째 모형의 수

a²

■ 사각수 1번째부터 a번째 까지 모형의 수 총합

a(a+1)(2a+1) / 6

ex) 1부터 3번째까지 모형의 수 = 3 x 4 x 7 / 6 = 14 = 1+4+9

 

■ 오각수 규칙

점의 수가 1개에서 시작하여 다음 단계로 진행될 때마다 4개, 7개, 10개 ...씩 늘어나므로 늘어나는 점의 수가 3개씩 더 많아지는 규칙

■ 오각수 a번째 모형의 수

a(3a-1)/2

ex) 3번째 모형의 수 = 1+4+7=12 = 3 x 8 / 2

 

■ 도형수 공식 정리

	삼각수	사각수	오각수
a번째 모양의 수	a(a+1)/2	a²	a(3a-1)/2
a번째까지 총합	a(a+1)(a+2)/6	a(a+1)(2a+1)/6

■ 파스칼 삼각형 규칙 X3

두 수의 합은 두 수의 아래 가운데 수와 같다.

각 행의 합은 이전 행의 합의 2배이다.

파스칼의 삼각형의 숫자들을 대각선으로 더한 수를 옆에 적으면 1,1,2,3,5...이다. 앞의 두 수의 합이 뒤의 수가 된다.

■ 정삼각형 수 배열표 a행에 있는 수들의 합 공식

(a²-a+1)(2a-1)

ex) 3행 합 = 5+6+7+8+9= 35 = (9-3+1) x 5

■ 정삼각형 수 배열표 4개의 숫자로 이루어진 정삼각형을 택하고 그 내부에 있는 수들의 합을 구하는 방법

a = 최상단에 위치한 수

b = a가 있는 행

합 = 4a+6b

ex) 2+5+6+7 = 20 = 8+12

■ 정삼각형 수 배열표 6개의 숫자로 이루어진 정육각형을 택하고 그 내부에 있는 수들의 합을 구하는 방법

a = 최상단에 위치한 수

b = a가 있는 행

합 = 6a+6b

ex) 2+3+4+6+7+8 = 30 = 18+12

■ 정삼각형 수 배열표 같은 대각선에서 가장 가까운 두 수의 곱을 구하는 방법

작은 수를 기준으로 해당 수만큼 대각선 아래쪽으로 내려가기

ex) 4 x 7 = 4에서 4번 내려간 28

 

■ 정삼각형 수 배열표 공식 정리

각 행에 있는 수들의 합	4개 숫자 정삼각형 합	6개 숫자 정육각형 합	같은 대각선 가장 가까운 두 수의 곱
(a²-a+1)(2a-1)	4a+6b	6a+6b	작은 수 기준으로 해당 수만큼 대각선 아래쪽으로 내려간다.

 

■ 50보다 작은 수 중 가장 긴 우박수를 만드는 수

27

 

 

* 콜라츠 우박수 계산 규칙

- 자연수를 하나 고른다.

- 고른 수가 짝수이면 2로 나누고, 홀수이면 3을 곱하고 1을 더한다

- 이를 반복하면 그 결과는 언제나 1이 된다.

ex) 처음 고른 수가 5인 상황. 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

■ 관련 평방유 X1

규칙을 식으로 나타낼 때 혼합 계산식, 일반항을 나타낸 식 등을 이용해야 하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.

<성취기준>
[4수04-02] 규칙적인 계산식의 배열에서 계산 결과의 규칙을 찾고, 계산 결과를 추측할 수 있다.

■ 관련 교학방유 X2

규칙적인 계산식의 배열에서 계산 결과의 규칙을 찾는 활동을 할 때 계산기를 사용하게 할 수 있다.

규칙성 영역에 적합한 문제 해결 전략을 지도하고, 문제 해결 과정을 설명하게 하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.

■ 관련 평방유 X1

규칙적인 계산식의 배열에 대한 평가에서는 계산 결과의 규칙을 추측하고 확인하는 데 중점을 둔다.

2. 규칙과 대응

<성취기준>
[6수04-01] 한 양이 변할 때 다른 양이 그에 종속하여 변하는 대응 관계를 나타낸 표에서 규칙을 찾아 설명하고, □,△ 등을 사용하여 식으로 나타낼 수 있다.

■ 두 양 사이의 관계를 탐구하는 사고 유형 X2

재귀적 패턴 (한 양의 변화에만 초점을 두어 변화를 탐구하는 유형)

ex) 꼭짓점의 수는 항상 3개씩 증가한다.

대응 관계 (두 양 사이의 관계를 수평적으로 탐구하며 함수 규칙을 도출하는 유형)

ex) (꼭짓점의 수) = (사각형의 수) x 3 + 1

■ 지도시 주의사항

많은 학생들은 이전 학습의 영향으로 두 양 사이의 관계를 재귀적 패턴으로 인식하는 경향이 강함.

따라서 두 양 사이의 대응 관계를 탐구할 때, 학생들이 한 양의 변화에 초점을 두기보다는 두 양의 변화를 동시에 고려할 수 있도록 해야 한다.

■ 두 양 사이의 대응관계를 지도하기 위한 교수 전략 X2

비연속적인 대응표의 활용 (→ 두 양 사이의 관계에 주목하도록 유도)

도형 패턴 지도 시 위치 번호 카드의 사용 (→ '만든 순서'라는 독립 변수 명시적 인식)

 

■ 대응관계 의미

한 양이 변할 때 다른 양이 그에 따라 일정하게 변하는 관계

■ 규칙과 대응 지도 계열

규칙적인 배열에서 두 양 사이의 대응 관계 찾기 - 대응 관계를 식으로 나타내기

 

■ 규칙적인 배열에서 두 양 사이의 대응 관계 찾기 활동 유의점 X2

어느 양을 독립변수로 보는지에 따라 두 양 사이의 대응 관계를 다르게 말할 수 있다는 점에 유의한다.

두 양 사이의 대응 관계를 말로 나타낼 때 한 양의 변화에만 초점을 두는 경우 두 양 사이의 관계를 탐구할 수 있도록 두 양을 모두 언급해야 한다는 점을 지도한다.

■ 관련 교학방유 X1

두 양의 대응 관계는 덧셈식, 뺄셈식, 곱셈식, 나눗셈식 중 하나로 표현되는 간단한 경우만 다룬다.

3. 비와 비율 ★ 85%

<성취기준>
[6수04-02] 두 양의 크기를 비교하는 상황을 통해 비의 개념을 이해하고, 그 관계를 비로 나타낼 수 있다.

 

■ 비의 개념을 이해하기 위해서 활용하는 것

두 양의 크기를 비교하는 상황

■ 비교의 종류 X2

절대적 비교(가법적 비교, 뺄셈으로 두 양 비교하기)

상대적 비교(승법적 비교, 나눗셈으로 두 양 비교하기)

■ 비 지도 계열

비의 필요성 인식 - 비 - 비의 종류 - 다양한 비 관계

 

■ 비 의미

두 양에서 한 양을 기준으로 다른 양이 몇 배가 되는지 승법적 관계를 간단히 나타낸 것

(두 수를 나눗셈으로 비교하기 위해 기호 :을 사용하여 나타낸 것)

ex) 3:1 = 비교하는 양 : 기준량 = 3과 1의 비 = 3의 1에 대한 비 = 1에 대한 3의 비

■ 비의 종류 X2

내적비 (같은 종류의 두 대상 사이의 관계를 비로 나타낸 것)

외적비 (다른 종류의 두 대상 사이의 관계를 비로 나타낸 것)

 

■ 다양한 비 관계

부분과 부분의 비 관계

부분과 전체의 비 관계

■ 관련 교학방유 X1

두 양을 비교할 때 한 양을 기준으로 다른 양이 몇 배가 되는지를 나타낼 필요성을 인식하게 하면서 비의 개념을 도입한다.

<성취기준>
[6수04-03] 비율을 이해하고, 비율을 분수, 소수, 백분율로 나타낼 수 있다.

■ 비율 지도 큰 계열 

비율 - 비율을 분수와 소수로 나타내기 - 백분율

 

■ 비율 지도 작은 계열 X2

비율의 필요성 인식 (비를 하나의 수로 나타낼 수 있다)

비율 개념 도입

■ 비율 의미

기준량에 대한 비교하는 양의 크기

■ 백분율 지도 계열 X3

백분율의 필요성 인식 (기준량을 같게 하여 비교)

백분율 개념 도입

백분율 구하는 방법

■ '남학생 5명 중 4명, 여학생 15명 중 9명이 축구 동아리에 참여. 남학생은 4명, 여학생은 9명이 참여하기 때문에 여학생이 축구 동아리에 더 많이 참여한다고 생각하는 상황. 이 경우에서의 지도 방안

기준량이 서로 다르기 때문에 단순히 참여한 학생 수만 가지고는 두 양의 크기를 비교하기 어렵다는 사실을 인지하고 기준량을 같게 하여 비교하도록 지도한다.

■ 백분율 지도를 위한 이중수직선의 활용 방안 X2

전체를 100으로 볼 때 부분의 양을 쉽게 파악할 수 있도록 한다.

백분율에 대한 이해를 돕는 시각적 표현일 뿐이므로 학생들에게 개념 자체를 강요하여 지도하지 않도록 한다.

 

■ 백분율 의미

기준량을 100으로 할 때의 비율

 

■ 백분율 개념 도입시 유의점 X2

백분율 기호 %는 '/100'의 변형이라는 관점에서 80/100 = 80%로 제시한다. 이때 %는 백분율의 단위가 아닌 백분율을 나타내는 기호의 역할임에 주의해야 한다.

백분율은 기준량을 100으로 할 때의 비율을 나타낸 것이다. 즉 상대적인 크기를 비교한 것이다. 따라서 기준량 100이 실제 100을 의미한다고 생각하면 안 된다.

■ 백분율 개념 도입 후 활동 X2

비율을 기준량이 100인 비율, 즉 분모가 100인 분수로 나타낸 후 분자의 값에 기호 %를 붙인다.

비율에 100을 곱해서 나온 값에 기호 %를 붙인다.

■ 수학의 실용적 가치가 드러나도록 비율을 지도하는 방법

속력, 인구 밀도, 농도 등 비율이 사용되는 실생활 사례를 통해 비율의 의미를 지도하도록 한다.

■ 관련 교학방유 X1

비율의 의미를 다룰 때 타 교과 및 실생활에서 비율이 적용되는 간단한 사례를 적용할 수 있다.

■ 관련 평방유 X1

비율을 평가할 때 속력, 인구밀도, 축척, 농도 등을 구하는 문제는 다루지 않는다.

4. 비례식과 비례배분 15%

<성취기준>
[6수04-04] 비례식을 알고, 그 성질을 이해하며, 이를 활용하여 간단한 비례식을 풀 수 있다.

■ 비의 성질 X2

비의 전항과 후항에 0이 아닌 같은 수를 곱하여도 비율은 같다.

비의 전항과 후항에 0이 아닌 같은 수로 나누어도 비율은 같다.

■ 두 비 사이의 관계를 직관적으로 파악하기 위해 활용할 수 있는 것

이중수직선

■ 이중수직선을 활용할 수 있는 이유

각 수직선에서의 승법적 관계가 동일하다는 비례적 추론을 통해 비의 성질을 이해할 수 있다.

■ 비의 전항과 후항을 0으로 나눌 수 없는 이유

0/a = 0이고 0/0은 부정, a/0은 불능. 0 × x = 0을 만족하는 x는 모든 수이므로 부정이고, 0 × x = a를 만족하는 x는 없기 때문에 불능이다.

■ 비의 성질을 이용하여 할 수 있는 활동

비의 성질을 이용하여 간단한 자연수의 비로 나타내기

■ 비례식 지도 계열

비례식의 의미 - 비례식의 성질 - 비례식의 활용

 

■ 비례식의 의미 지도 방법

비율이 같은 두 비를 등식으로 나타내는 활동을 통해 비례식을 이해하도록 한다.

■ 비례식의 성질

비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같다.

■ 비례식의 활용 X2

비교하는 양 구하기

기준량 구하기

■ 관련 교학방유 X1

규칙성 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기, 문제 해결 과정의 타당성 검토하기 등을 통하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.

(가능성 교학방유와 같은 말)

<성취기준>
[6수04-05] 비례배분을 알고, 주어진 양을 비례배분 할 수 있다.

■ 비례배분 의미

전체를 주어진 비로 배분하는 것

■ 비례배분하는 방법

그림 그리기 - 수직선 - 식으로 나타내기 - 한 단위 전략을 사용하여 비례배분하기

* 한 단위 전략: 문제에 주어진 조건을 무조건 1이라는 단위로 세분화한 다음 구하고자 하는 값을 곱하는 방법

ex) 빵 10개를 3:2로 비례배분하는 상황. 5단위가 빵 10개이므로 1단위는 빵 2개.