초등 임용 수학 각론 뽀개기 + 청킹 1. 자료와 가능성

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1. 자료와 가능성 관련 교육과정 헷갈리는 포인트

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자료와 가능성 - 수집, 분류, 정리, 해석 <수.분.리.석>

cf) <각론> 통계의 과정 X5 : 목적 확인, 자료 수집, 분류 및 정리, 해석, 판단 <목.수.분.리.석.판>

 

<교학방>

정보처리능력 - 탐색, 수집, 정리, 분석, 평가 <탐.수.정.분.평>

프로젝트 학습 - 계획 수립, 수행, 결과물 산출 발표

 

<평방> 프로젝트 학습 - 수집, 분석, 종합, 해결 <수.분.종.해>

 

자료와 가능성	교학방 정보처리능력	평방 프로젝트학습
목수분리석판 中 수분 리석 수집, 분류, 정리, 해석	탐수정분평 탐색, 수집, 정리, 분석, 평가	수분 종해 수집, 분석, 종합, 해결

 

2. 관련 수학 교육과정 원문

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자료와 가능성 - 수집 분류, 정리, 해석 <수.분.리.석>

 

<교학방>

정보처리능력 - 탐색, 수집, 정리, 분석, 평가 <탐.수./정.분.평>

프로젝트 학습 - 계획 수립, 수행, 결과물 산출 발표

 

(바) ① 실생활 및 수학적 문제 상황에서 적절한 자료를 탐색하여 수집하고, 목적에 맞게 정리, 분석, 평가하며, 분석한 정보를 문제 상황에 적합하게 활용할 수 있게 한다.

 

(가) ③ 프로젝트 학습은 특정 주제나 과제를 탐구하기 위해 계획을 수립하고 수행하여 결과물을 산출하거나 발표하는 교수학습 방법으로, 개인별 또는 집단별로 실시할 수 있다.

 

<평방>

프로젝트 학습 - 수집, 분석, 종합, 해결 <수.분.종.해>

 

② 프로젝트 평가는 수학 학습을 토대로 특정한 주제나 과제에 대해서 자료를 수집하고 분석, 종합, 해결하는 과정과 결과를 평가하는 방법으로, 문제 해결, 창의융합, 정보처리능력 등을 평가할 때 활용할 수 있다.

 

3. 자료와 가능성 각론 뽀개기

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1. 통계의 기초

(1) 통계의 과정

<성취기준>

[2수05-01] 교실 및 생활 주변에 있는 사물들을 정해진 기준 또는 자신이 정한 기준으로 분류하여 개수를 세어보고, 기준에 따른 결과를 말할 수 있다.

 

■ 통계의 과정

목.수. 분리. 석.판 (목적 확인 - 자료 수집 - 분류 및 정리 - 해석 - 판단)


■ 자료수집단계에서 고려할 것

자료의 타당성(자료는 목적에 비추어 알맞은 자료인가?),

자료의 신뢰성(조사 방법은 정확한 것인가?)


■ 분류 의미

어느 집단의 성격을 같은 관점(기준)에 의해 분할하는 것 (기준에 따라 나누는 것)

■ 정리 의미

분류된 자료를 표나 그래프로 나타내거나 평균 등을 산출하여 보다 알기 쉽게 만드는 것

■ 정리의 방법

표, 막대그래프, 꺾은선그래프, 비율 그래프로 나타내기, 평균 산출하기

 

■ 해석 의미

표나 그래프 등을 분석해 봄으로써 객관적이고 정당하게 자료를 해석하는 것

■ 판단 의미

해석을 바탕으로 자료에 없는 구간에 대해 예상하거나 (내삽) 앞으로 일어날 것을 예측하고 판단하는 것 (외삽)

■ 분류 지도 계열

분명한 분류 기준의 필요성 인식 - 분류 기준을 정하는 방법 - 기준에 따라 속성 블록 분류하기 - 분류하여 세어 보고 결과 표현하기

■ 분명한 기준에 따른 분류의 장점

어느 누가 분류해도 결과가 같다

분류된 기준으로 물건을 찾을 때 정확하게 찾을 수 있다 (실생활 - 물건찾기)

■ 분류하여 세어보기의 장점

어떤 것이 얼마나 많은지 비교하기 편하다

■ 조사한 자료를 셀 때 유의점

자료를 빠뜨리지 않고 모두 세기 위해 센 것에는 다양한 기호를 이용하여 표시하며 센다

■ 모든 자료를 세어본 후

전체 장난감의 수와 센 결과가 일치하는지 확인한다.

■ 자료 해석의 기초를 닦는 활동

분류한 결과를 말로 표현하는 과정

■ 관련 교학방유 X2

분류하기에서는 학생들이 실생활에서 친근하게 느낄 수 있는 소재를 활용한다.

기준을 정하여 분류할 때 학생들이 정한 다양한 기준을 존중하되, 분명하지 않은 기준일 경우에는 분류하는 것이 어려움을 인식하게 한다.

■ 관련 평방유 X1

분류하기를 평가할 때 학생들의 수준에 비해 어려운 분류 대상이나 분류 기준을 사용하지 않는다.

<성취기준>

[2수05-02] 분류한 자료를 표로 나타내고, 표로 나타내면 편리한 점을 말할 수 있다.
[2수05-02] 분류한 자료를 O, X, / 등을 이용하여 그래프로 나타내고, 그래프로 나타내면 편리한 점을 말할 수 있다.

 

■ 표 지도 단계

목수분리석 (목적 확인 - 자료 수집 - 분류 및 정리 - 해석)

■ 자료 조사 방법을 결정할 때 유의할 점

조사하려는 내용에 알맞은 방법인지 생각해 보도록 한다.

 

■ 자료 수집 단계의 의의

분류되지 않은 조사 자료를 비교할 때의 불편함을 알고 자료를 분류한 후 표나 그래프로 나타내야 할 필요성을 느끼게 한다.

■ 표로 나타낼 때 유의할 점

조사 내용에 알맞은 제목을 정한다

조사 항목의 수에 맞게 칸을 나눈다

조사 내용에 맞게 빈칸을 채운다

합계가 맞는지 확인한다

■ 표를 만들 때 함께 지도해야하는 것

표를 만들 때 자료가 중복되거나 빠지지 않도록 세어보는 방법을 함께 지도한다.

■ 표로 나타내면 편리한 점

합계가 나와 있어 조사한 자료의 전체 수를 알아보기 편리하다.

각 항목별 수로 표현되어 조사한 자료별 수를 알아보기 편리하다.

■ 표로 나타내면 불편한 점

조사하고자 하는 내용을 한눈에 알아보기 어렵다. → 그래프의 필요성 인식

■ 그래프 지도 단계

목수분리석 (목적 확인 - 자료 수집 - 분류 및 정리 - 해석)

■ 자료수집 단계의 의의

자료 분류의 필요성을 인식한다.

■ 그래프로 나타내면 편리한 점

조사하고자 하는 내용을 한눈에 알아보기 편리하다.

자료의 수가 가장 많고, 가장 적은 항목이 무엇인지 한눈에 알아보기 편리하다.

■ 관련 교학방유 X3

표를 만들 때 자료가 중복되거나 빠지지 않도록 세어보는 방법을 함께 지도한다.

표와 그래프로 나타내기는 생활 주변에 있는 자료들을 활용하되, 그 기준이 분명하고 간단한 것을 다룬다. (애매한 것, 겹치는 것, 어려운 것 X)

자료와 가능성 영역의 문제 상황에 적합한 문제 해결 전략을 지도하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.

 

2. 여러 가지 그래프

(1) 비교 그래프

<성취기준>
[4수05-01] 실생활 자료를 수집하여 간단한 그림그래프나 막대그래프로 나타낼 수 있다.

■ 그래프의 종류

- 비교 그래프: 그림그래프, 막대그래프 (양의 크기를 비교하기 위한 그래프)

- 경과 그래프: 꺾은선그래프 (양의 변화를 나타내기 위한 그래프)

- 비율 그래프: 띠그래프, 원그래프 (전체에 대한 각 부분의 비율을 나타내기 위한 그래프)

■ 그림그래프의 유형

- 표 기반 그림 그래프 (3학년) → 막대그래프의 초기 체험 (변수를 선형으로 배열해서)

- 지도 기반 그림 그래프 (6학년)

■ 그림그래프로 나타낼 때 고려할 점 X3

그림을 몇 가지로 정할지 생각한다

어떤 그림으로 나타낼지 생각한다

그림으로 정할 단위는 어떻게 할 것인지 생각한다

■ 그림그래프 단위가 늘어나면 좋은 점

이전보다 그릴 그림이 줄어 편리하다

더 간단하게 나타낼 수 있어 수를 일일이 세지 않아도 얼마인지 알기 쉽다

■ 표와 그림그래프 비교하기

표	그림그래프
그림을 일일이 세지 않아도 된다 조사한 양의 크기를 바로 알 수 있다 각각의 자료를 서로 비교하기 불편하다	표보다 재미있다 한눈에 비교가 잘된다 어느 정도 많은지 쉽게 비교가 된다

■ 그림그래프 지도시 유의점

그림그래프의 길이가 길다고 학생 수가 많은 것이 아니라는 것을 알게 한다.

자료를 조사하고 정리하는 활동을 통해 수학이 실생활과 밀접하게 관련되어 있고 생활 속에서 활용된다는 사실을 알게 한다. (수학의 가치 中 실용적 가치)

■ 막대그래프 의미

조사한 자료를 막대 모양으로 나타낸 그래프

(수량을 막대의 길이로 나타내는 그래프)

 

■ 막대그래프 나타내는 방법

가로와 세로 중 어느 쪽에 조사한 수를 나타낼 것인가를 정한다

눈금 한 칸의 크기를 정하고, 조사한 수 중 가장 큰 수를 나타낼 수 있도록 눈금의 수를 정한다

조사한 수에 맞도록 막대를 그린다

막대그래프에 알맞은 제목을 붙인다

■ 표와 막대그래프 비교하기

표: 수로 알아보기 편리하다

막대그래프: 크기 비교를 쉽게 할 수 있다

■ 그림그래프와 막대그래프의 공통점

두 그래프 모두 양의 크기 비교를 위한 비교 그래프이다.

■ 관련 교학방유 X1

그래프로 나타내면 자료의 특성을 알아보는 데 편리함을 설명하게 한다.

 

<성취기준>

[6수05-02] 실생활 자료를 그림그래프로 나타내고 이를 활용할 수 있다.

(2) 경과 그래프

<성취기준>
[4수05-02] 연속적인 변량에 대한 자료를 수집하여 꺾은선그래프로 나타낼 수 있다.

연속적인 변량은 연속량과 다른 개념으로, 연속적인 양의 '변화'를 의미한다.

■ 꺾은선그래프 의미

수량을 점으로 표시하고, 그 점들을 선분으로 이어 그린 그래프

■ 꺾은선그래프의 특징 X2

시간에 따른 경향성을 나타내는 데 유용하고, 얻은 자료로부터 중간값을 알아보거나 미래에 일어날 일을 예측할 수 있다.

이산량과 연속량 모두 꺾은선그래프로 나타낼 수 있다.

 

■ 꺾은선그래프 나타내는 방법

가로와 세로 중 어느 쪽에 조사한 수를 나타낼 것인가를 정한다

눈금 한 칸의 크기를 정하고, 조사한 수 중 가장 큰 수를 나타낼 수 있도록 눈금의 수를 정한다

가로 눈금과 세로 눈금이 만나는 자리에 점을 찍는다

점들을 선분으로 잇는다

조사한 내용이 잘 나타나게 꺾은선그래프에 알맞은 제목을 붙인다

■ 물결선부분 의미

필요 없는 세로 눈금 생략

 

■ 꺾은선그래프 변화의 경향이 잘 드러나도록 하는 방법

필요 없는 부분은 물결선으로 나타내고 눈금의 크기를 작게 하여 변화의 경향이 잘 드러나도록 한다

■ 꺾은선 그래프의 특징과 관련하여 할 수 있는 해석 활동

꺾은선그래프에서 꺾은선의 기울어진 정도의 변화를 살펴보게 한다

꺾은선그래프를 해석하는 과정에서 중간값을 파악할 수 있다

■ 판단에서의 꺾은선그래프 장점

미래의 값을 예상할 수 있다

■ 관련 교학방유 X2

그래프로 나타내면 자료의 특성을 알아보는 데 편리함을 설명하게 한다.

꺾은선그래프를 그릴 때 변화의 경향이 잘 드러날 수 있도록 눈금의 크기를 적절히 선택하게 한다.

■ 관련 평방유 X1

꺾은선그래프에서는 변화의 경향을 파악하는지에 중점을 두어 평가한다.

 

<성취기준>

[4수05-03] 여러 가지 자료를 수집, 분류, 정리하여 자료의 특성에 맞는 그래프로 나타내고, 그래프를 해석할 수 있다.

■ 여러 나라의 9월 최고기온을 나타내고자 할 때, 꺾은선 그래프가 적절하지 않은 이유

여러 나라 도시들의 기온 변화를 나타낸 것이 아니기 때문이다.

■ 관련 교학방유 X2

간단한 그림그래프, 막대그래프, 꺾은선그래프의 특성을 비교하여 자료의 특성에 맞는 그래프로 나타내게 한다.

자료와 가능성 영역의 문제 상황에 적합한 문제 해결 전략을 지도하고, 문제 해결 과정을 설명하게 하여 문제 해결 능력을 기른다.

(3) 비율 그래프

<성취기준>

[6수05-03] 주어진 자료를 띠그래프와 원그래프로 나타낼 수 있다.
[6수05-04] 자료를 수집, 분류, 정리하여 목적에 맞는 그래프로 나타내고, 그래프를 해석할 수 있다.

■ 비율그래프의 종류

띠그래프, 원그래프, 사각형그래프

■ 띠그래프 의미

전체에 대한 각 부분의 비율을 띠 모양에 나타낸 그래프

■ 띠그래프의 장점

그리기 쉽고 길이 감각을 이용하여 자료의 크기를 비교하기 쉽다

전체에 대한 각 부분의 비율을 한눈에 알아볼 수 있다

각 항목끼리의 비율을 쉽게 비교할 수 있다

여러 개의 띠그래프를 사용하여 비율의 변화 상황을 나타내는 데 편리하다

■ 띠그래프 나타내는 방법

자료를 보고 각 항목의 백분율을 구한다

각 항목의 백분율의 합계가 100%가 되는지 확인한다

각 항목이 차지하는 백분율의 크기만큼 선을 그어 띠를 나눈다

나눈 부분에 각 항목의 내용과 백분율을 쓴다

띠그래프의 제목을 쓴다

■ 원그래프 의미

중심각의 크기를 이용하여 전체에 대한 각 부분의 비율을 원 모양에 나타낸 그래프

■ 원그래프 장점

전체에 대한 각 부분의 비율(전체와 부분, 부분과 부분 사이의 비율)을 한눈에 알아보기 쉽다

각 항목끼리의 비율을 쉽게 비교할 수 있다

작은 비율까지도 비교적 쉽게 나타낼 수 있다

■ 원그래프 단점

중심각의 크기를 100등분 해야 하므로 띠그래프에 비해 그리기 어렵다.

(초등학교에서는 원의 전체를 100%로 하는 눈금이 표시된 원을 사용함.)

■ 원그래프 나타내는 방법

(백분율 구하고 더해서 100% 되는지 확인하고 나누고 내용과 백분율 쓰고 제목 쓰고 - 띠그래프랑 구조적으로 같다)

자료를 보고 각 항목의 백분율을 구한다

각 항목의 백분율의 합계가 100%가 되는지 확인한다

각 항목이 차지하는 백분율의 크기만큼 선을 그어 원을 나눈다

나눈 부분에 각 항목의 내용과 백분율을 쓴다

원그래프에 제목을 쓴다

 

■ 원그래프 유의점

원그래프는 띠그래프와 달리 원의 중심에서 원주 위에 표시된 눈금까지 선으로 이어서 그려야 한다. 원의 중심을 지나지 않고 무작위로 원을 분할하여 그래프를 그리지 않도록 한다.

■ 원그래프 vs 띠그래프 공통점

비율 그래프로, 자료의 수치의 비율과 그래프에서의 해당 항목의 크기가 비례한다.

전체를 100%로 하여 전체에 대한 각 부분의 비율을 직관적으로 알아보기 편리하다.

각 항목끼리의 비율을 쉽게 비교할 수 있다.

 

■ 원그래프 vs 띠그래프 차이점

원그래프는 원의 중심을 100등분 해 원 모양으로 그린 것으로 비교적 작은 비율도 쉽게 나타낼 수 있으나, 비율 변화 상황을 나타내기 어렵다.

띠그래프는 가로를 100등분해 띠 모양으로 그린 것으로 작은 비율을 정확하게 표현하기는 비교적 어렵지만, 여러 개의 띠그래프를 사용하여 비율 변화 상황을 나타내기 편리하다.

■ 관련 교학방유 X4

띠그래프와 원그래프를 지도할 때 신문, 인터넷 등에 있는 표나 그래프를 소재로 활용할 수 있게 한다.

원그래프를 그릴 때에는 눈금이 표시된 원을 사용하게 한다.

복잡한 자료의 평균이나 백분율을 구할 때 계산기를 사용하게 할 수 있다.

막대그래프, 꺾은선그래프, 그림그래프, 띠그래프, 원그래프의 특성을 비교하여 목적에 맞는 그래프로 나타내게 한다.

3. 평균과 가능성

(1) 평균

<성취기준>
[6수05-01] 평균의 의미를 알고, 주어진 자료의 평균을 구할 수 있으며, 이를 활용할 수 있다.

■ 대푯값 의미

통계 집단의 변량 전체를 대표하여 그 자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값

■ 대푯값의 종류

최빈값: 가장 빈번하게 나타나는 값

중앙값: 순서대로 열거한 자료에서 중앙에 위치한 값

평균: 자료의 각 값들을 고르게 한 값

 

■ 대푯값 유의점

평균이 대푯값이 되었을 때 생길 수 있는 오류를 생각해보도록 한다. 중앙값이나 최빈값을 고려하지 않은 채 단순히 평균을 대푯값으로 사용할 때 오류가 생기는 경우가 있음을 깨닫도록 지도한다.

ex) 병사들의 평균키가 강의 평균 깊이보다 크다고 모두 건너게 하면, 평균에 못 미치는 키를 가진 병사는 강을 안전하게 건너기 힘들다.

■ 평균을 구하는 방법과 관련한 활동

자료의 값이 고르게 되도록 모형을 옮겨 평균 구하는 방법 <조작 활동>

각 자료의 값을 종이띠로 나타내어 모두 이어 붙인 다음 자료의 수만큼 등분으로 접어 나누는 방법 <조작 활동>

예상한 평균(기준 수, 가평균)을 기준으로 각 자료의 값을 고르게 하는 방법

각 자료의 값을 모두 더하여 자료의 수로 나누는 방법

■ 관련 교학방유 X2

평균을 구하는 방법뿐만 아니라 그 의미를 직관적으로 파악하게 한다.

복잡한 자료의 평균이나 백분율을 구할 때 계산기를 사용하게 할 수 있다.

■ 관련 평방유 X1

평균을 구하는 것뿐만 아니라 평균이 사용된 상황에서 그 의미를 파악하는지 평가한다.

(2) 가능성

<성취기준>

[6수05-05] 실생활에서 가능성과 관련된 상황을 ‘불가능하다’, ‘~아닐 것 같다.’, ‘반반이다’, ‘~일 것 같다’, ‘확실하다’ 등으로 나타낼 수 있다.
[6수05-06] 가능성을 수나 말로 나타낸 예를 찾아보고, 가능성을 비교할 수 있다.
[6수05-07] 사건이 일어날 가능성을 수로 표현할 수 있다.

■ 가능성 의미

어떠한 상황에서 특정한 일이 일어나길 기대할 수 있는 정도

■ 가능성 지도 계열

말로 표현하기 - 비교하기 - 수로 표현하기

* 비교하기 = 회전판 여러 개에서 일이 일어날 가능성 비교하기

■ 관련 교학방유 X2

가능성을 수료 표현할 때는 0, 1/2, 1 등 직관적으로 파악되는 경우를 다룬다.

자료와 가능성 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기, 문제 해결 과정의 타당성 검토하기 등을 통하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.